statistique
On parle de mécanique ou de physique statistique lorsque l’on parle de l’étude ou de la
compréhension des propriétés de systèmes macroscopiques (solides, liquides, gaz, aimants
(système de spins),...) avec un nombre N ' Na = 6, 02.1023 d’éléments.
Les atomes où molécules qui composent ce système sont :
- libres ou en interaction
- à l’équilibre ou hors équilibre
La Physique Statistique permet de passer du Microscopique au Macroscopique et per-
met d’expliquer le passage d’actions élémentaires réversibles à un phénomène macrosco-
pique irréversible.
Vu le nombre d’atomes, il est impossible de décrire le système en suivant chaque
particule, en effet :
- en pratique, on aurait 6 N coordonnées (3 de positions initiales, 6 de vitesses initiales)
- il n’y a aucun intérêt de décrire le système si précisément
D’où un la nécessité d’un processus de moyennage, formalisé, que l’on à déjà étudié
en thermodynamique.
Thermodynamique
La thermodynamique offre une description de ces propriétés directement en termes
de variables macroscopiques (volume V, température T, pression P,...), sans faire réfè-
rence à une quelconque structure microscopique sous-jacente. Elle établit des équations
phénoménologiques (gaz parfait,...) qui relient les variables macroscopiques entre elles.
Mécanique statistique
L’objectif est le même, mais on prend acte de la constitution microscopique de la
matière. Boltzmann en a été le précurseur mais il fut poussé au suicide car son modèle
microscopique ne plaisait pas à tout le monde (il a eu l’audace de supposer que la matière
était faite d’atomes...). La mécanique statistique réalise le passage du microscopique au
macroscopique.
Quelles méthodes ?
Pour arriver à obtenir de résultats, plusieurs techniques sont à ,notre disposition. La
Réduction du nombre de degrés de liberté pour arriver à des données exploitables,et le
moyennage,qui entraîne une perte d’information mais contrôlée par la prise en compte de
fluctuations, comme par exemple avec l’écart-type.
On considère un sous-système d’un système isolé caractérisé par des grandeurs ther-
hémodynamiques E,N,V... Il existe :
- des grandeurs fixées appelées paramètres extérieurs (E,N,V)
- des grandeurs fluctuantes appelées variables internes(E,N,V) comme E si le systèmeest en contact avec un thermostat, ou comme x le centre de gravité. La valeur de cesvariables internes ainsi que les fluctuations autour de la valeur moyenne caractérisentvraiment l’équilibre.
- des contraintes (volume, pression fixées) que l’on va relâcher pour atteindre un nouvel état d’équilibre à déterminer.
Dans l’ensemble micro-canonique, on étudie un système S isolé. Dans l’ensemble canonique, on étudie un système S en contact thermique avec un grand système T (fT fs) où T est un thermostat.
Soit E l’énergie de S et ET l’énergie de T . Posons alors E0 = E + ET l’énergie fixée de l’ensemble isolé S + T . Comme E ET , la température T de T est imposée à S (la
température de S est fixée mais son énergie fluctue).
Lorsque l’on se place dans l’ensemble grand canonique, on laisse à la fois fluctuer E et N. Cet ensemble est intéressant :
1. pour des systèmes avec N variables, par exemple :
- La coexistence d’une phase gazeuse et d’une phase liquide
- la coexistence d’une phase gazeuse et solide (c’est l’adsorption dans les 2 cas)
- pour traiter des problèmes où le le photon intervient : N est non constant (cf rayonnement cosmologique)
2. pour des systèmes avec N constant mais que l’on va laisser fluctuer (peu si N tend vers l’infini). N n’est plus avec une contrainte "dure" (où N est une constante fixée,
comme en microcanonique).
– Il faut se souvenir que le gaz parfait est une idéalisation correcte à basse densité ou à haute température. Dans ce cas, on peut négliger les interactions.
- Dans le cas réaliste, on prend en compte les interactions.
En thermodynamique, on considère des systèmes où les effets thermiques existent
il y a plusieurs cas à considérer :
il y a plusieurs cas à considérer :
- quand l’énergie thermique est grande devant l’énergie d’interaction (kt Einteraction) on a alors à faire a un système qui se comporte comme un ensemble de particules quasi-libres que l’on traite en tant que {système libre + corrections}. On a alors le choix entre un développement en constante de couplage g et un développement à haute température ( 1).
- Quand l’énergie d’interaction domine (kT Einteraction) les modes microscopiques ne sont pas pertinents : ce sont les modes collectifs qui interviennent. On utilise la théorie effective formulée en termes de modes collectifs.
Exemple :la description du solide. on modélise un solide par un réseau cristallin de N oscillateurs reliés par des res- sorts. À haute température, les 3N oscillateurs sont libre à la même pulsation ω0 A basse température, les 3N oscillateurs sont libres à des pulsations différentes (ω1, ω2,...). On obtient dans ce cas des modes collectifs (ω → 0,⇔ k → 0, ieλ ∼ taille du système ).
Aperçu et téléchargement :
